Mathematiker beenden Jahrzehnte

Forscher haben eine neue 14-seitige Form namens Spectre entdeckt, mit der man eine Oberfläche kacheln kann, ohne jemals ein sich wiederholendes Muster zu erzeugen, womit eine jahrzehntelange mathematische Suche ein Ende findet.

Was hat 14 Seiten, ist voller Kurven und kann eine Fläche perfekt abdecken, ohne Lücken oder Überlappungen? Es ist kein Rätsel – es ist ein „Vampir Einstein“.

Im März stieß ein pensionierter Drucktechniker namens David Smith auf eine bemerkenswerte Entdeckung in der Welt der Mathematik. Er fand eine 13-seitige Form, die eine Oberfläche vollständig kacheln konnte, ohne sich jemals zu wiederholen. Die Form, die wegen ihrer vage Fedora-ähnlichen Form auch „der Hut“ genannt wird, war der Höhepunkt jahrzehntelanger Jagd von Mathematikern auf der ganzen Welt.

Seit 1961 fragten sich Mathematiker, ob eine solche Form existieren könnte. Zunächst fanden Mathematiker einen Satz von 20.426 Formen, die sich zusammenfügen ließen und dabei ein Muster erzeugten, das sich nie wiederholte (im Gegensatz zu den Fliesen auf einem Küchenboden, die ein sich wiederholendes Muster erzeugen). Schließlich fanden Mathematiker einen Satz von 104 Formen, die eine solche sich nie wiederholende Kachelung erzeugen konnten.

Dann fand der Physiker und Nobelpreisträger Roger Penrose in den 1970er Jahren ein Formenpaar, das zusammen eine sich nicht wiederholende Kachelung ergab. Und seitdem fragten sich Mathematiker jahrzehntelang, ob derselbe Trick mit nur einer einzigen Form möglich sei. Diese halbmythische Form, die früher als aperiodisches Monotil bekannt war, wurde als „Einstein“ bekannt, was auf Deutsch „ein Stein“ bedeutet.

Aber trotz all der Feierlichkeiten rund um Smiths Entdeckung einer Einstein-Fliese gab es einen kleinen Wermutstropfen. Um die sich nicht wiederholenden Kacheln zu erzeugen, musste der „Hut“ mit seinem Spiegelbild arbeiten. Technisch gesehen ist es die gleiche Form, nur umgekehrt, aber einige argumentierten, dass Smith nicht wirklich einen echten Einstein gefunden hatte.

Jetzt haben Smith und seine Kollegen diese Einwände jedoch ausgeräumt: Sie haben eine Form gefunden, die eine Oberfläche kacheln kann, ohne sie zu wiederholen oder umzudrehen. Sie beschrieben die neue Form am 28. Mai in einem Artikel, der in der Preprint-Datenbank arXiv veröffentlicht wurde, obwohl er noch nicht von Experten begutachtet wurde.

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Das Team nannte seine Form „Spectre“, eine Hommage an Vampire, die ihr eigenes Spiegelbild nicht sehen können und daher keinen Spiegel brauchen.

„Bei der Kachelung von Ebenen ist es völlig normal, dass Kacheln reflektiert werden können. Dennoch waren einige Leute unzufrieden damit, dass das aperiodische Hutmonotil Reflexionen erfordert, um die Ebene zu kacheln“, schrieb Co-Autor Joseph Samuel Meyers auf Mastodon. „In unserem neuen Preprint präsentieren wir das Spectre, das erste Beispiel eines Vampir-Einsteins: ein aperiodisches Monotil, das die Ebene ohne Reflexionen kachelt.“

Um die gespenstische Form zu finden, begann das Team mit der ursprünglichen „Hut“-Form und fügte ihr eine zusätzliche Seite hinzu. Für die vollständige Kachelung dieser neuen Form war immer noch das Spiegelbild erforderlich, aber die Forscher fanden heraus, dass sie durch die Umwandlung der geraden Kanten der 14-seitigen Form in gebogene Kanten auf Spiegelbilder verzichten und mit nur einer Form arbeiten konnten.

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Paul M. Sutter ist Forschungsprofessor für Astrophysik an der SUNY Stony Brook University und dem Flatiron Institute in New York City. Er tritt regelmäßig im Fernsehen und in Podcasts auf, darunter „Ask a Spaceman“. Er ist Autor zweier Bücher, „Your Place in the Universe“ und „How to Die in Space“, und schreibt regelmäßig Beiträge für Space.com, Live Science und mehr. Paul erhielt 2011 seinen Doktortitel in Physik von der University of Illinois in Urbana-Champaign und verbrachte drei Jahre am Pariser Institut für Astrophysik, gefolgt von einem Forschungsstipendium in Triest, Italien.

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